Signos y exponentes 25 MIN
Lee R1 a R4. Después haz los siete ejercicios de monomio × monomio (1a–1g) sin abrir ningún desarrollo.
01 · La idea
Un término tiene tres partes. Se multiplican por separado.
Toda la unidad se sostiene en esto. Antes de multiplicar cualquier cosa, mira un término y reconoce sus tres partes: el signo, el coeficiente (el número) y la parte literal (las letras con sus exponentes).
−2x5y4z
signo: negativo
coeficiente: 2
parte literal: x⁵y⁴z
MOVIMIENTO 1
Separa
Identifica en cada término su signo, su número y sus letras. Si no ves número, el coeficiente es 1.
x = +1x1
MOVIMIENTO 2
Multiplica por partes
Signos con signos. Números con números. Y cada letra con su igual, sumando los exponentes.
3a · 2a → 6 · a2
MOVIMIENTO 3
Junta y reduce
Escribe el resultado y suma los términos que sean semejantes: mismas letras, mismos exponentes.
4x − 9x = −5x
02 · Formulario
Las reglas, con lo que significan al lado
Ocho reglas. Las primeras cuatro son el movimiento 2; las siguientes dos son cómo se reparte una multiplicación; las últimas dos son atajos que siempre se pueden comprobar haciendo la cuenta larga.
R1
Regla de los signos
(+)(+) = +
(−)(−) = +
(+)(−) = −
Signos iguales dan positivo; signos distintos dan negativo.
Ojo: con tres o más factores, cuenta cuántos negativos hay. Cantidad par → positivo. Cantidad impar → negativo.
R2
Los coeficientes se multiplican
3a · 2a → 3 · 2 = 6
Como números normales. Si son fracciones, numerador con numerador y denominador con denominador. Si son decimales, multiplícalos y respeta las cifras.
Ojo: una letra sin número adelante tiene coeficiente 1, no 0.
R3
Misma base: se suman los exponentes
am · an = am+n
Porque x2·x3 es (x·x)·(x·x·x): cinco equis multiplicándose, o sea x5.
Ojo: se suman, no se multiplican. Y una letra sola lleva exponente 1: z · z = z2.
R4
Bases distintas no se juntan
a · b = ab x2 · y3 = x2y3
Se escriben una al lado de la otra, en orden alfabético para que sea fácil de revisar.
Ojo: x2·y3 no es xy5 ni (xy)5. Cada letra lleva su propio exponente.
R5
Distributiva: el de afuera entra a todos
a(b + c) = ab + ac
El monomio de afuera multiplica a cada término de adentro, con signo incluido. Si adentro hay tres términos, salen tres productos: el resultado tiene tantos términos como tenía el paréntesis.
Ojo: si el de afuera es negativo, todos los signos de adentro se dan vuelta. Ese es el error más caro de la guía.
R6
Doble distributiva: cada uno con cada uno
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Dos términos por dos términos son cuatro productos, siempre. Hazlos en orden —primero con primero, primero con segundo, segundo con primero, segundo con segundo— y recién ahí reduce los semejantes. Casi siempre quedan tres términos: los dos del medio se juntan.
R7
Términos semejantes
3x2 + 5x2 = 8x2
Solo se suman o restan términos con exactamente la misma parte literal. Se suman los coeficientes; las letras quedan igual.
Ojo: 3x2 + 5x3 no se puede reducir. Se queda así y está bien.
R8
Atajos que se pueden comprobar
(a+b)(a−b) = a2 − b2
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
No son reglas nuevas: son R6 ya resuelta. Úsalas para ir rápido, pero si dudas, haz los cuatro productos y compara.
03 · Plan de estudio
Cuatro sesiones de 25 minutos y un repaso
El orden importa: cada sesión usa lo de la anterior. No se avanza a la siguiente hasta cumplir la meta, aunque haya que repetir la sesión otro día.
Que el de afuera llegue a todos 25 MIN
Lee R5. Haz 2a–2e. En cada uno, antes de escribir, cuenta cuántos términos hay dentro del paréntesis: esa es la cantidad de productos que debes obtener.
Fracciones, decimales y varias letras 25 MIN
Sigue con 2f–2i, que es lo mismo de S2 pero con coeficientes incómodos y tres letras distintas. Simplifica las fracciones al final, no en la mitad.
Cada uno con cada uno 25 MIN
Lee R6, R7 y R8. Haz 3a–3j. Escribe siempre los cuatro productos antes de reducir, aunque veas el atajo: primero la cuenta larga, el atajo se gana después.
Repaso 15 MIN
Vuelve solo a los ejercicios que salieron mal, con la hoja en blanco y el formulario cerrado.
La regla del plan: primero lo intentas en papel, después abres el desarrollo. Un ejercicio leído no cuenta como hecho — el desarrollo sirve para saber dónde te equivocaste, no para reemplazar el intento.
04 · Ejercicios
Multiplicación entre monomios
Un término por otro término. Aquí se practican R1 a R4 y nada más. Intenta primero en el cuaderno; después abre el desarrollo para comparar.
Bloque 1
7 EJERCICIOS · R1–R4a)2x · x =ver
1La x sola vale 1x1: coeficiente 1, exponente 1.
2Coeficientes: 2 · 1 = 2
3Letras (R3): x1 · x1 = x2
Resultado2x2
b)3a · 2a =ver
1Coeficientes: 3 · 2 = 6
2Letras: a1 · a1 = a2
Resultado6a2
c)x · 4x · (−3x) =ver
1Signos: hay un negativo, cantidad impar → el resultado es negativo.
2Coeficientes: 1 · 4 · 3 = 12
3Letras: x1 · x1 · x1 = x3 (1+1+1)
Resultado−12x3
d)5ab · 2ab · ab =ver
1Coeficientes: 5 · 2 · 1 = 10 (el tercer factor no tiene número, vale 1).
2Las a: a · a · a = a3
3Las b: b · b · b = b3
Resultado10a3b3
e)−2x⁵y⁴z · 4xyz =ver
1Signos: (−)(+) = −
2Coeficientes: 2 · 4 = 8
3Letra por letra: x5·x1 = x6, y4·y1 = y5, z1·z1 = z2
Resultado−8x6y5z2
f)25a⁶b² · 37a³b⁴ =ver
1Coeficientes (fracciones): arriba con arriba y abajo con abajo → (2·3)/(5·7) = 635
2Las a: a6·a3 = a9
3Las b: b2·b4 = b6
4635 no se puede simplificar: 6 y 35 no tienen divisores comunes.
Resultado635a9b6
g)−1,1m²n⁶p² · 7mn³p⁴ =ver
1Signos: (−)(+) = −
2Coeficientes: 1,1 · 7 = 7,7
3Letra por letra: m2·m = m3, n6·n3 = n9, p2·p4 = p6
Resultado−7,7m3n9p6
05 · Ejercicios
Monomio por polinomio
Ahora entra R5. El truco de control: cuenta los términos dentro del paréntesis antes de empezar. Si adentro hay tres, tu respuesta tiene que tener tres.
Bloque 2
9 EJERCICIOS · R5 + R1–R4a)−2y · (8x − 4y) =ver
1Dos términos adentro → salen dos productos.
2(−2y)(8x) = −16xy — letras distintas, se escriben juntas.
3(−2y)(−4y) = +8y2 — dos negativos dan positivo.
Resultado−16xy + 8y2
b)ax · (2 + 3y) =ver
1(ax)(2) = 2ax — el número se escribe adelante.
2(ax)(3y) = 3axy — tres letras distintas, ninguna se junta.
Resultado2ax + 3axy
c)−7xz · (3 − 2x) =ver
1(−7xz)(3) = −21xz
2(−7xz)(−2x) = +14x2z — negativo por negativo, y x·x = x2.
Resultado−21xz + 14x2z
d)−10x²b · (6x + 9y) =ver
1(−10x2b)(6x) = −60x3b — x2·x = x3.
2(−10x2b)(9y) = −90x2by
3Los dos quedan negativos: adentro los dos términos eran positivos y afuera había un negativo.
Resultado−60x3b − 90x2by
e)3a⁷b³ · (b − 1) =ver
1(3a7b3)(b) = 3a7b4 — b3·b1 = b4.
2(3a7b3)(−1) = −3a7b3 — multiplicar por −1 solo cambia el signo.
Resultado3a7b4 − 3a7b3
f)8p³q² · (q³ − pq⁵ + p²q³) =ver
1Tres términos adentro → tres productos.
2(8p3q2)(q3) = 8p3q5
3(8p3q2)(−pq5) = −8p4q7
4(8p3q2)(p2q3) = 8p5q5
5Ninguno es semejante con otro: las parejas de exponentes son distintas. No se reduce nada.
Resultado8p3q5 − 8p4q7 + 8p5q5
g)23x²y⁶ · ( −24xy⁴ + 4xy² − 1 ) =ver
1Primero simplifica la fracción de adentro: −24 = −12
223 · (−12) = −26 = −13 y las letras: x2·x = x3, y6·y4 = y10 → −13x3y10
323 · 4 = 83 y x2·x = x3, y6·y2 = y8 → 83x3y8
423 · (−1) = −23 y las letras quedan igual → −23x2y6
Resultado−13x3y10 + 83x3y8 − 23x2y6
Cuidado: x3y10 y x3y8 no son semejantes — la x coincide pero la y no. No se juntan.
h)7a⁶b⁴ · (4ab² − 7a³b² − a) =ver
1(7a6b4)(4ab2) = 28a7b6
2(7a6b4)(−7a3b2) = −49a9b6
3(7a6b4)(−a) = −7a7b4
Resultado28a7b6 − 49a9b6 − 7a7b4
Cuidado: el primero y el segundo tienen los dos b6, pero uno lleva a7 y el otro a9. No son semejantes.
i)2m⁷n² · (8m⁶n − 3mn⁴) =ver
1(2m7n2)(8m6n) = 16m13n3 — 7+6 = 13 y 2+1 = 3.
2(2m7n2)(−3mn4) = −6m8n6 — 7+1 = 8 y 2+4 = 6.
Resultado16m13n3 − 6m8n6
06 · Ejercicios
Polinomio por polinomio, y reducción
Dos por dos son cuatro productos. Escríbelos los cuatro siempre, aunque veas venir el atajo: el atajo se usa para revisar, no para saltarse el paso.
Bloque 3
10 EJERCICIOS · R6–R8a)(m² − mn) · (2m − 3m) =ver
1Antes de multiplicar, mira el segundo paréntesis: 2m y 3m son semejantes.
2Redúcelo: 2m − 3m = −m. Ya no es un binomio, es un monomio.
3Ahora es distributiva simple: (m2 − mn)(−m)
4(m2)(−m) = −m3 y (−mn)(−m) = +m2n
Resultado−m3 + m2n
Esta es la trampa del bloque: siempre revisa si adentro de un paréntesis hay términos semejantes antes de multiplicar. Si el enunciado del libro decía (2m − 3n) con ene —conviene preguntarle al profesor— el resultado sería 2m3 − 5m2n + 3mn2.
b)(x + 4) · (x − 9) =ver
1Los cuatro productos: x·x = x2, x·(−9) = −9x, 4·x = 4x, 4·(−9) = −36
2Quedó x2 − 9x + 4x − 36
3Reduce los del medio (R7): −9x + 4x = −5x
Resultadox2 − 5x − 36
c)(a³ − 5) · (a³ + 6) =ver
1a3·a3 = a6 — se suman los exponentes, no se multiplican.
2a3·6 = 6a3, −5·a3 = −5a3, −5·6 = −30
3Reduce: 6a3 − 5a3 = a3
Resultadoa6 + a3 − 30
d)(4x − 6y) · (4x + 6y) =ver
1Mismos términos, signos opuestos: es suma por diferencia (R8).
2Cuenta larga: 16x2 + 24xy − 24xy − 36y2
3Los del medio se anulan: +24xy − 24xy = 0. Por eso el atajo funciona.
Resultado16x2 − 36y2
e)(5x − 2) · (5x − 2) =ver
1Es el mismo binomio dos veces: (5x − 2)2, cuadrado de binomio.
2Los cuatro productos: 25x2 − 10x − 10x + 4
3Los del medio son iguales, por eso aparece el doble producto: −20x
Resultado25x2 − 20x + 4
Nunca: (5x − 2)2 = 25x2 + 4. Falta el término del medio, y ese es el que se olvida.
f)(x + y) · (x − y) =ver
1Suma por diferencia otra vez, en su forma más simple.
2x2 − xy + xy − y2 → los del medio se anulan.
Resultadox2 − y2
g)(2x³ + 4y²) · (2x³ + 4y²) =ver
1Mismo binomio dos veces → cuadrado de binomio, con signo +.
2Primero al cuadrado: (2x3)2 = 4x6 — se eleva el número y la letra.
3Doble producto: 2 · (2x3)(4y2) = 16x3y2
4Segundo al cuadrado: (4y2)2 = 16y4
Resultado4x6 + 16x3y2 + 16y4
h)(6x + 5) · (6x − 2) =ver
1Los cuatro: 36x2, −12x, +30x, −10
2Reduce el medio: −12x + 30x = +18x
Resultado36x2 + 18x − 10
No es suma por diferencia: los segundos términos son 5 y −2, distintos. Aquí no se anula nada.
i)(a⁸ + b⁴) · (a⁸ − b⁴) =ver
1Suma por diferencia: el resultado es el primero al cuadrado menos el segundo al cuadrado.
2(a8)2 = a16 y (b4)2 = b8 — elevar una potencia a otra sí multiplica los exponentes.
Resultadoa16 − b8
Distingue: a8·a8 = a16 (se suman: 8+8) y (a8)2 = a16 (se multiplican: 8·2). Acá dan lo mismo, pero son reglas distintas.
j)(x + 6) · (x − 7) =ver
1Los cuatro: x2, −7x, +6x, −42
2Reduce: −7x + 6x = −x
Resultadox2 − x − 42
07 · Control de calidad
Los seis errores que aparecen en esta guía
No son errores genéricos: son los que esta guía en particular está diseñada para provocar. Si un ejercicio te sale mal, lo más probable es que sea uno de estos.
x2 · x3 = x6
x2 · x3 = x5
Multiplicar los exponentes en vez de sumarlos. Al multiplicar potencias de igual base se suman. (Se multiplican solo cuando una potencia está elevada a otra: (x2)3 = x6.)
−10x2b(6x + 9y) = −60x3b + 90x2by
−60x3b − 90x2by
El signo negativo de afuera llegó solo al primer término. Si el monomio de afuera es negativo, todos los términos cambian de signo.
28a7b6 − 49a9b6 = −21a16b6
28a7b6 − 49a9b6
Reducir términos que no son semejantes. Para juntarlos, todas las letras deben tener el mismo exponente. Y al reducir, los exponentes nunca se tocan: solo se suman los coeficientes.
(5x − 2)2 = 25x2 + 4
(5x − 2)2 = 25x2 − 20x + 4
Olvidar el doble producto. El cuadrado de una resta no es la resta de los cuadrados: al hacer los cuatro productos siempre quedan dos del medio iguales, y esos son el −20x.
(m2 − mn)(2m − 3m) = 2m3 − ...
2m − 3m = −m → (m2 − mn)(−m)
Multiplicar sin mirar si adentro del paréntesis había algo que reducir. Revisa los dos paréntesis antes de empezar; a veces el trabajo se acorta a la mitad.
(2x3)2 = 2x6
(2x3)2 = 4x6
Elevar la letra pero olvidar el número. Cuando un paréntesis completo está al cuadrado, el coeficiente también se eleva.
08 · Antes de entregar
Cinco preguntas para revisar cualquier ejercicio
Pásalas por cada respuesta antes de darla por terminada. Toma treinta segundos y salva la mitad de los puntos que se pierden por descuido.
Si algo no cuadra: reemplaza las letras por números chicos en la expresión original y en tu resultado —por ejemplo x = 2, y = 3— y calcula las dos. Si no dan lo mismo, hay un error. Es la forma más rápida de pillarse sola.
Guía adicional · Multiplicación algebraica OA 6 · 8.º básico 26 ejercicios resueltos